为DC-DC升压转换器选择电感值

　CCM工作

　　为了选择CCM升压转换器的电感值(L)，需要选择最高KRF值，确保整个输入电压范围内都能够以CCM工作，并避免峰值电流受MOSFET、二极管和输出电容影响。 然后计算得出最小电感值。KRF 最高值通常选在0.3和0.6之间，但对于CCM可以高达2.0。 如前所述，当D = 0.5时，出现纹波电流ΔIL最大值。那么，多少占空比的情况下会出现KRF最大值呢? 我们可以通过派生方法来求得。

　　假设η = 100%， 则

(10),

　　然后将(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出:

(11)

(12).

　　对D求解，可得

(13).

　　D = 1这一伪解可被忽略，因为它在稳态下实际上是不可能出现的(对于升压转换器，占空比必须小于1.0)。因此，当D =⅓或VIN = ⅔VOUT时的纹波因数KRF最高，如图4所示。使用同样的方法还能得出在同一点的最大值LMIN、LCRIT和ICRIT。

　　图4 – 当D =⅓时CCM纹波系数KRF最高值

　　对于CCM工作，最小电感值(LMIN)应在最接近⅔ VOUT的实际工作输入电压(VIN(CCM))下进行计算。根据应用的具体输入电压范围，VIN(CCM)可能出现在最小VIN、最大VIN、或其间的某个位置。解方程(5)求L，并根据VIN(CCM)下的KRF重新计算，可得出

(14)，

　对于临界电感与VIN 和IOUT的变化，KRF = 2，可得出

(15).

　　在给定VIN 和L 值的条件下，当KRF = 2时，即出现临界负载(ICRIT)：

(16)

　　DCM工作

　　如图5所示，在一定工作VIN和输出电流(IOUT)下的电感值小于LCRIT时，DCM模式工作保持不变。对于DCM转换器，可选择最短的空闲时间以确保整个输入电压范围内均为DCM工作。tidle最小值通常为开关周期的3%-5%，但可能会更长，代价是器件峰值电流升高。然后采用tidle最小值来计算最大电感值(LMAX)。 LMAX必须低于VIN范围内的最低LCRIT。对于给定的VIN，电感值等于LCRIT(tidle= 0)时引发CrCM。

　　图5 – LCRIT 与标准化VIN 的变化

　　为计算所选最小空闲时间(tidle(min))的LMAX，首先使用DCM伏秒平衡方程求出tON(max)(所允许的MOSFET导通时间最大值)与VIN的函数，其中tdis为电感放电时间。

(17)，

(18)

　　可得出

(19).

　　平均(直流)电感电流等于转换器直流输入电流，通过重新排列(17)，可得出tdis相对于tON的函数。简单起见，我们将再次假设PIN = POUT。

(20) ，

(21).

　　将方程(3)、(5)、(10)、(19)和(21)代入(20)，求得VIN(DCM)下的L

(22).

　　LMAX遵循类似于LCRIT 的曲线，且同在VIN = ⅔VOUT时达到峰值。为确保最小tidle，要计算与此工作点相反的实际工作输入电压(VIN(DCM))下的最低LMAX值。根据应用的实际输入电压范围，VIN(DCM)将等于最小或最大工作VIN。若整体输入电压范围高于或低于⅔ VOUT(含⅔ VOUT)，则VIN(DCM)是距⅔ VOUT最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了⅔ VOUT，则在最小和最大VIN处计算电感，并选择较低(最差情况下)的电感值。或者，以图表方式对VIN进行评估，以确定最差情况。

　　输入电压模式边界

　　当升压转换器的输出电流小于ICRIT与VIN的最大值时，如果输入电压增加到高于上限模式边界或下降到低于下限模式边界，即IOUT大于ICRIT时，则将引发CCM工作。而DCM工作则发生于两个VIN的模式边界之间，即IOUT小于ICRIT时。要想以图表方式呈现VIN下的这些导通模式边界，在相同图表中绘制临界负载(使用所选电感器)与输入电压和相关输出电流的变化曲线。然后在X轴上找到与两条曲线相交的两个VIN值(图6)。

　　图6 – 输入电压模式边界

　　要想以代数方式呈现VIN的模式边界，首先将临界负载的表达式设置为等于相关输出电流，以查找交点：

(23).

　　这可以重写为一个三次方程，KCM可通过常数计算得出

(24)

(25).

　　这里，三次方程通式x3 + ax2 + bx + c = 0的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出[1] [2]。在此情况下，x1项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量VMB。

　　我们知道

(26)、

(27)、

(28),

(29).

　　由于升压转换器的物理限制，任何VMB ≤ 0或VMB > VOUT的解均可忽略。两个正解均为模式边界处VIN的有效值。

　　模式边界 – 设计示例

　　我们假设一个具有以下规格的DCM升压转换器：

　　VOUT = 12 V

　　IOUT = 1 A

　　L = 6 μH

　　FSW = 100 kHz

　　首先，通过(25)和(28)计算得出KCM和θ：

　　将VOUT和计算所得的θ值代入(29)，得出模式边界处的VIN值：

　　忽略伪解(-3.36 V)，我们在4.95 V和10.40 V得到两个输入电压模式边界。这些计算值与图7所示的交点相符。

　　图7 – 计算得出的模式边界

　　采用WebDesigner™ Boost Powertrain加速设计

　　对于不同的升压电感值，手动重复进行这些设计计算可能会令人厌烦且耗费时间。复杂的三次方程也使输入电压模式边界的计算相当繁琐且容易出错。通过使用安森美半导体的WebDesigner™等在线设计工具，就能更轻松并显著地加速设计工作。 Boost Powertrain设计模块(图8)会自动执行所有这些计算(包括实际能效的影响)，并根据您的应用要求推荐最佳电感值。您可以从广泛的内置数据库中选择真正的电感器部件值，或者输入您自己的定制电感器规格，立即就能计算得出纹波电流和模式边界、及其对输出电容、MOSFET、二极管损耗、以及整体能效的影响。

　　图8 - WebDesigner™ Boost Powertrain

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　　结论

　　电感值会影响升压转换器的诸多方面，若选择不当，可能会导致成本过高、尺寸过大、或性能不佳。通过了解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系，设计人员就能够确保输入电压范围内的所需性能。

　　参考文献

[1] H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh & London: Oliver and Boyd, 1952.　　[2] I. J. Zucker, "The cubic equation - a new look at the irreducible case," The Mathematical Gazette, vol. 92, no. 524, pp. 264-268, July 2008.