控制系统的数学模型

在控制理论中，为了描述线性定常系统的输入-输出关系，最常用的函数是所谓的传递函数。传递函数的概念只适用于线性定常系统，在某些特定条件下也可以扩充到一定的非线性系统中去。

线性定常系统的传递函数，定义初始条件为零时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。设有一线性定常系统，它的微分方程是

(2-1)

式中y是系统的输出量，x是系统的输入量。初始条件为零时，对方程（2-1）两端进行拉普拉斯变换，就可以得到该系统的传递函数为：

(2-2)

传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统的输入量与输出量之间的关系式，它表达了系统本身的特性，而与输入量无关。传递函数包含着联系输入量与输出量所必需的单位，但它不能表明系统的物理结构（许多物理性质不同的系统，可以有相同的传递函数）。

传递函数分母中s的最高阶数，就是输出量最高阶导数的阶数。如果s的最高阶数等于n，这种系统就叫n阶系统。

例2-1 图2-1所示为一弹簧阻尼系统，阻尼器是一种产生粘性磨擦或阻尼的装置。它由活塞和充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何相对运动，都将受到油液的阻滞，因为这时油液必须从活塞的一端，经过活塞周围的间隙（或通过活塞上的专用小孔），而流到活塞的另一端。阻尼器主要用来吸收系统的能量。被阻尼器吸收的能量转变为热量而散失掉，而阻尼器本身不贮藏任何动能或位能。

下面来推导这一系统的传递函数。设系统的输入量为外力x(t)，输出量为质量的位移y(t)，按下列步骤进行推导：

1． 写出系统的微分方程。
2． 假设全部初始条件等于零，取微分方程的拉普拉斯变换。
3． 求输出Y(s)与输入量X(s)之比。这一比值就是传递函数。

为了推导线性常系数微分方程，假设阻尼器的磨擦力与 成正比，并设弹簧为线性弹簧，即弹簧力与y成正比。在这个系统中，m表示质量，f表示粘性磨擦系数，而k表示弹簧刚度。
解 牛顿定律是机械系统中的基本定律。在平移系统中，牛顿定律可表示如下：

ma=ΣF=x-Fs-Ff

其中Fs=ky，

a表示加速度，f表示力。

把牛顿定律应用到这一系统可得

或

(2-3)

对方程（2-3）中每一项取拉普拉斯变换，得出

如果设初始条件等于零，即y(0)=0， (0)=0，即可得出方程（2-3）的拉普拉斯变换：

取Y(s)与X(s)之比，即可得到系统的传递函数：

例2-2 机械转动系统 设有一系统，如图2-2所示。它由惯性负载和粘性磨擦阻尼器组成。J为转动惯量，f为粘性磨擦系数，ω为角速度，T为作用到系统上的转矩。

解 对于机械转动系统，其运动方程可写成：

其微分方程为：

（2-4）

初始条件为零时，取方程（2-4）的拉普拉斯变换：

取θ(s) 与T(s)之比，即可得到系统的传递函数：

例2-3

图2-3所示为一由电感L、电阻R和电容C组成。

解: 在理想条件下，可得到此电路的电压平衡方程式：

（2-5）

由于式中，q为电荷量，C为电容。式（2-5）可改写为

初始条件为零时，取方程（2-5）的拉普拉斯变换：

取U(s)与Uc(s) 之比，即可得到系统的传递函数：

1. 系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法。

2. 传递函数是系统本身的一种属性，它与输入量或驱动函数的大小和性质无关。

3. 传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息（许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数，称之为相似系统）。

4. 如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质。

5. 如果不知道系统的传递函数，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。系统的传递函数一旦被确定，就能对系统的动态特性进行充分描述，它不同于对系统的物理描述。

6. 用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型，说明如下

第一种表示方式为：

第二种表示方式也叫零极点增益模型，具体形式为：

这两种模型各有不同的适用范围，可以相互转换，在不同的场合需要用不同的模型。如：在根轨迹分析中，用零极点模型就比较合适。 相似系统 相似系统这一概念，在实践中是很有用的，因为一种系统可能比另一种系统更容易通过实验来处理。例如，可以通过建造和研究一个与机械系统相似的电模拟系统来代替对机械系统的制造和研究，因为一般来说，电的或电子的系统更容易通过实验进行研究。表2-1所示为相似系统的相似变量。

y=f(x) （2-6）

如果系统的额定工作状态相应于，，那么方程（2-6）可以在该点附近展开成泰勒级数：

式中都在x=df/dx,d²f/dx²,… 点进行计算。如果x-很小，可以忽略x-的高阶项。因此方程可以写成

方程（2-8）可以改写成

上式说明y-与x-成正比。方程（2-9）就是由方程（2-6）定义的非线性系统的线性数学模型。下面来研究另一种非线性系统，它的输出量y是两个输入量x1和x2的函数，因而

为了得到这一非线性系统的线性近似关系，将方程（2-10）在额定工作点,附近展开成泰勒级数。这时方程（2-10）可写成

式中偏导数都在x₁=,x₂=上进行计算。在额定工作点附近，近似将高阶项忽略。于是在额定工作状态附近，这一非线性系统的线性数学模型可以写成

这里介绍的线性化方法只有在工作状态附近才是正确的。当工作状态的变化范围很大时，线性化方程就不合适了，这时必须使用非线性方程。应当特别注意，在分析和设计中采用的具体数学模型，只有在一定的工作条件下才能精确表示实际系统的动态特性，在其他工作条件下它可能是不精确的。

比例环节又称放大环节，其传递函数为

(2-11)

这表明，输出量与输入量成正比，动态关系与静态关系都一样，不失真也不迟延，所以又称为"无惯性环节"或"放大环节"。比例环节的特征参数只有一个，即放大系数K。工程上如无弹性变形的杠杆传动、电子放大器检测仪表、比例式执行机构等都是比例环节的一些实际例子。

2.4.2惯性环节

惯性环节又称非周期环节，其传递函数为

(2-12)

T为惯性环节的时间常数，K为比例系数。
当输入信号为单位阶跃函数时，其环节的输出为

它是一条指数曲线，当时间t=3T~4T时，输出量才接近其稳态值。实际系统中，惯性环节是比较常见的，例如直流电机的励磁回路等。

2.4.3积分环节

积分环节的传递函数为

(2-13)

在单位阶跃输入的作用下，积分环节的输出c(t)为

这表明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成正比地无限增加。积分环节具有记忆功能，当输入信号突然除去时，输出总要变化下去。在控制系统设计中，常用积分环节来改善系统的稳态性能。

2.4.4微分环节

微分环节的传递函数为

(2-14)

理想微分环节的输出与输入量的变化速度成正比。在阶跃输入作用下的输出响应为一理想脉冲（实际上无法实现），由于微分环节能预示输出信号的变化趋势，所以常用来改善系统的动态特性。

实际上可实现的微分环节都具有一定的惯性，其传递函数如下：

它有一个负极点和一个位于S平面原点的零点。实际微分环节在单位阶跃输入作用下的输出响应为

2.4.5振荡环节

振荡环节的传递函数为

(2-15)

或

式中，T为振荡环节的时间常数；K为放大系数；ζ为振荡环节的阻尼比； 称为无阻尼自然振荡频率。

2.4.6延迟环节

延迟环节的传递函数为

(2-16)

延迟环节在单位阶跃输入作用下的输出响应为c(t)=1(t-T)

即输出完全复现输入，只是延迟了T时间。T为延迟环节的特征参数，称为"延迟时间"或"滞后时间"。

以上介绍了六种典型环节，这是控制系统中最见的基本环节

方块图 :
系统方块图，是系统中每个元件的功能和信号流号的图解表示。方块图表明了系统中各种元件间的相互关系。方块图优于纯抽象的数学表达式，因为它能够清楚地表明实际系统中的信号流动情况。

在方块图中，通过函数方块，可以将所有的系统变量联系起来。"函数方块"或简称为"方块"，是对加到方块上的输入信号的一种运算符号，运算结果以输出量表示。元件的传递函数，通常写进相应的方块中，并以标明信号流向的箭头，将这些方块连接起来。应当指出，信号只能沿箭头方向通过。这样，控制系统的方块图就清楚地表示了它的单向特性。

T为惯性环节的时间常数，K为比例系数。
当输入信号为单位阶跃函数时，其环节的输出为

图2-4表示了一个方块图单元。指向方块的箭头表示输入，而从方块出来的箭头则表示输出。在这些箭头上标明了相应的信号。

应当指出，方块输出信号等于输入信号与方块中传递函数的乘积。

用方块图表示系统的优点是：只要依据信号的流向，将各元件的方块连结起来，就能够容易地组成整个系统的方块图，通过方块图，还可以评价每一个元件对系统性能的影响。

总之，方块图比物理系统本身更容易体现系统的函数功能。方块图包含了与系统动态特性有关的信息，但它不包括与系统物理结构有关的信息。因此，许多完全不同和根本无关的系统，可以用同一个方块图来表示。

应当指出，在方块图中没有明显表示出系统的主能源，而且对于一定的系统来说，方块图也不是唯一的。由于分析角度的不同，对于同一个系统，可以画出许多不同的方块图。

误差检测器误差检测器产生的输出信号，等于控制系统的参考输入信号与反馈信号之差。在设计中，选择误差检测器是一件很重要的工作，需要仔细确定。因为误差检测器中的任何缺陷，都必然会降低整个系统的性能。图2-5表示了误差检测器的方块图。

需要注意的是，图中进行相加或相减的一些量，应具有相同的量纲和单位。

闭环系统方块图在图2-6上，表示了一个闭环系统的方块图。输出量C(s)反馈到相加点，并且在相加点与参考输入量R(s)进行比较。系统的闭环性质，在图上清楚地表示了出来。在这种情况下，方块的输出量C(s)，等于方块的输入量E(s)乘以传递函数G(s)。

任何线性控制系统，都可以用由方块、相加点和分支点组成的方块图来表示。所谓分支点，就是由方块出来的输出信号，从这一点起同时进入另一个方块或相加点。

当输出量反馈到相加点与输入量进行比较时，必须将输出信号转变为与输入信号相同的形式。例如，在温度控制系统中，输出信号通常为被控温度。具有温度量纲的输出信号，在与输入信号进行比较之前，必须转变为力或位置。这种转换由反馈元件来完成，反馈元件的另一个重要作用，是在输出量与输入量进行比较之前，改变输出量。对于正在讨论的例子，反馈到相加点与输入量进行比较的反馈信号为B(s)=H(s)C(s)。

反馈信号B(s)与作用误差信号E(s)之比，叫做开环传递函数。即

输出量C(s)与作用误差信号E(s)之比，叫做前向传递函数，因而

如果反馈传递函数等于1，那么开环传递函数与前向传递函数相同。在图2-6所示系统中，输出量C(s)与输入量R(s)的关系，可推导如下：

C(s)=G(s)E(s)
E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

从上述方程中消去E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)-H(s)C(s)]

于是可得

(2-17)

C(s)与R(s)之间的传递函数，叫做闭环传递函数。这一传递函数，将闭环系统的动特性，与前向通道元件和反馈通道元件的动态特性联系在一起了。

由方程（2-17），可求得C(s)为

因此，闭环系统的输出量，显然取决于闭环传递函数和输入量的性质。

扰动作用下的闭环系统 图2-7为一个在扰动作用下的闭环系统。当两个输入量（参考输入量和扰动量）同时作用于线性系统时，可以对每一个输入量单独地进行处理，将与每一个输入量单独作用时相应的输出量叠加，即可得到系统的总输出量。每个输入量加进系统的形式，用相加点上的加号或减号来表示。

现在来讨论图2-7上表示的系统。在研究扰动量N(s)对系统的影响时，可以假设系统在开始时是静止的，并且假设无误差信号，这样就可以单独计算系统对扰动的响应CN(s)。这一响应可由下式求得：

另一方面，在研究系统对参考输入量的响应时，可以假设扰动量等于零。这时系统对参考输入量R(s)的响应CR(s)可由下式求得：

将上述两个单独的响应相加，就可以得到参考输入量和扰动量同时作用时的响应。换句话说，参考输入量R(s)和扰动量N(s)同时作用于系统时，系统的响应C(s)为

另一方面，当G1(s)G2(s)H(s)的增益增大时，闭环传递函数CR(s)/R(s)趋近于1/H(s)。这表明，当 >>1时，闭环传递函数CR(s)/R(s)将变成与G1(s)和G2(s)无关，而只与H(s)成反比关系，因此G1(s)和G2(s)的变化，不影响闭环传递函数CR(s)/R(s)。这是闭环系统的另一个优点。可以容易地看出：任何闭环系统，当反馈传递函数H(s)=1时，系统的输入量与输出量相等。

画方块图的步骤在绘制系统的方块图时，首先列写描述每一个元件动态特性的方程式。然后假定初始条件等于零，对这些方程式进行拉普拉斯变换，并将每一个拉普拉斯变换方程分别以方块的形式表示出来。最后将这些方块单元结合在一起，以组成完整的方块图。

方块图的简化应当强调指出，只有当一个方块的输出量不受其后的方块影响时，才能够将它们串联连接。如果在这些元件之间存在着负载效应，就必需将这些元件归并为一个单一的方块。
任意数量串联的、表示无负载效应元件的方块，可以用一个单一的方块代替，它的传递函数，就等于各单独传递函数的乘积。

一个包含着许多反馈回路的复杂的方块图，可以应用方块图的代数法则，经过逐步重新排列和整理而得到简化。在表2-1中，列举了一些比较常见的方块图代数法则。这些代数法则说明，同一个方程式可以用不同的方法表示。通过重新排列和代换，将方块图简化后，可以使以后的数学分析工作很容易进行。但是应当指出，当方块图得到简化后，新的方块却变得更加复杂了，因为产生了新的极点和零点。

3
4

在方块图简化过程中，应记住以下两条原则：

1．前向通道中传递函数的乘积必须保持不变；
2．回路中传递函数的乘积必须保持不变。

方块图简化的一般法则是移动分支点和相加点，交换相加点，减少内反馈回路。下面举例说明方块图的变换和化简。

信号流图信号流图，是一种表示一组联立线性代数方程的图。当将信号流图法应用于控制系统时，首先必须将线性微分方程变换为以s为变量的代数方程。

信号流图是由网络组成的，网络中各节点用定向支线段连接。每一个节点表示一个系统变量，而每两节点之间的联结支路相当于信号乘法器。应当指出，信号只能单向流通。信号流的方向由支路上的箭头表示，而乘法因子则标在支路线上。信号流图描绘了信号从系统中的一点流向另一点的情况，并且表明了各信号之间的关系。

正如所料，信号流图基本上包含了方块图所包含的信息。用信号流图表示控制系统的优点，可以应用所谓梅逊增益公式。根据该公式，不必对信号流图进行简化，就可以得到系统中各变量之间的关系。

定义在讨论信号流图之前，首先必须定义如下一些术语：

节点，节点用来表示变量或信号的点。
传输，两个节点之间的增益叫传输。
支路，支路是连接两个节点的定向线段。支路的增益为传输。
输出节点或源点，只有输出支路的节点，叫输出节点或源点。它对应于自变量。
输入节点或阱点，只有输入支路的节点，叫输入节点或阱点。它对应于因变量。
混合节点，既有输入支路，又有输出支路的节点，叫混合节点。
通道，沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，叫通道。如果通道与任一节点相交不多于一次，就叫做开通道。如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次，就叫做闭通道。如果通道通过某一节点多于一次，但是终点与起点在不同的节点上，那么这个通道既不是开通道，又不是闭通道。
回路，回路就是闭通道。
回路增益，回路中各支路传输的乘积，叫回路增益。
不接触回路，如果一些回路没有任何公共节点，就把它们叫做不接触回路。
前向通道，如果从输出节点（源点）到输入节点（阱点）的通道上，通过任何节点不多于一次，则该通道叫做前向通道。
前向通道增益，前向通道中，各支路传输的乘积，叫前向通道增益。

图2-9表示了节点、支路和支路传输。

信号流图的性质下面介绍一些信号流图的重要性质。

1． 支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系。信号只能沿着支路上的箭头方向通过。
2． 节点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有支路。
3． 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可以把它变成输出节点来处理。（见图2-9,注意，具有单位传输的支路从x3指向另一个节点，后者也以x3表示。）当然，应当指出，用这种方法不能将混合节点改变为源点。
4． 对于给定的系统，信号流图不是唯一的。由于同一系统的方程可以写成不同的形式，所以对于给定的系统，可以画出许多种不同的信号流图。

信号流图代数根据前面的定义，可以画出线性系统的信号流图。这样做时，通常将输出节点（源点）放在左面，而输入节点（阱点）放在右面。方程式的自变量和因变量，分别变为输出节点（源点）和输入节点（阱点）。支路的传输可由方程的系数得到。

为了确定输入-输出关系，可以采用梅逊公式。这个公式后面将要介绍。也可以将信号流图简化成只包含输出和输入节点的形式。为了进行这种简化，需采用下列规则：

1． 如图2-10(a)所示，只有一个输出支路的节点的值为x2=ax1。
2． 串联支路的总传输，等于所有支路传输的乘积。因此，通过传输相乘，可以将串联支路合并为单一支路，如图2-10(b)所示。
3． 通过传输相加，可以将并联支路合并为单一支路，如图2-10(c)所示。
4． 混合节点可以消掉，如图2-10(d)所示。
5． 回路可以消掉，如图2-10(e)所示。

梅逊公式用梅逊公式可以直接求信号流图的传输。表示为

（2-18）

式中,Pk=第k条前向通道的通道增益或传输；

Δ=流图的特征式
=1-（所有不同回路的增益之和）+（每两个互不接触回路增益乘积之和）
-（每三个互不接触回路增益乘积之和）+…

Δk=在除去与第k条前向通道相接触的回路的流图中，第k条前向通道特征式的余因子。

总之，熟悉了梅逊公式之后，根据它去求解系统的传输，远比用方块图变换方法简便有效，对于复杂的多环系统和多输入、多输出系统尤其明显。因此，信号流图得到了广泛的实际应用，并常用于控制系统的计算机辅助设计。

例2-4 将图2-11所示的系统方框图化为信号流图之。求系统传递函数C(s)/R(s)。

在这个系统中，输入量R(s)和输出量C(s)之间，只有一条前向通道。前向通道的增益为
P1=G1G2G3
从图2-12可以看出，这里有三个单独的回路。这些回路的增益为

L1=G1G2H1
L2=-G2G3H2
L3=-G1G2G3

应当指出，因为所有三个回路具有一条公共支路，所以这里没有不接触的回路。因此，特征式Δ为
Δ=1-（L1+L2+L3）
=1-G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3
沿联接输入节点和输出节点的前向通道，特征式的作因子Δ1，可以通过除去与该通道接触的回路的方法而得到。因为通道P1与三个回路都接触，所以得到
Δ1=1
因此，输入量R(s)和输出量C(s)之间的总增益，或闭环传递函数为

这与通过方块图简化所得到的闭环传递函数完全相同。这样，利用梅逊公式，不必对流图进行简化，就能够求得总增益C(s)/R(s)。

例2-5 根据梅逊公式求图2-13的信号流图的总传输。

解 此系统有六个回环，即ab、cd、ef、ij和kfdb，因此

两个互不接触的回环有七种组合，即abef、abgh、abij、cdgh、cdij、efij及kfdbij，所以

三个互不接触的回环只有ab、ef和ij，故

由此可求特征式

从源点到阱点有两条前向通道。一条为acegi，它与所有的回环均有接触，因此
P1=acegi
Δ1=1

另一条前向通道为kgi它不与回环cd接触，所以
P2=kgi
Δ2=1-cd

将以上结果代入式（2-18），可得总传输

例2-6 已知RC电路如图2-14所示，请画出其结构图。

解：根据电路的特性，由图可知

中间回路：

(2-21）

由（2-19）式知：

(2-22）

由（2-21）式知：

(2-23）

由（2-20）式知：

(2-24）

则由（2-22）、（2-23）、（2-24）式求出结构图如下：

在这一类系统结构图的求解过程中，需要注意的是，其解不是唯一的。

2.7.1 状态、状态变量及状态空间方程

这里介绍有关状态、状态变量及状态空间方程等的基本概念。

1． 状态 动态系统的状态是系统的最小一组变量（称为状态变量），只要知道了在t=t0时的一组变量和t3t0时的输入量，就能够完全确定系统在任何t3t0时刻的行为。
2． 状态变量 动态系统的状态变量是确定动态系统状态的最小一组变量。如果至少需要n个变量x1，x2，××× ，xn才能完全描述动态系统的行为（即一旦给出t3t0时的输入量，并且给定t=t0时的初始状态，就可以完全确定系统的未来状态），则这个变量就是一组状态变量。
3． 状态向量 如果完全描述一个给定系统的行为需要n个状态变量，那么这n个状态变量可以看作是向量X的n个分量，该向量就称为状态向量。因此，状态向量也是一种向量，一旦t=t0时的状态给定，并且给出t3t0时的输入量U(t)，则任意时间t3t0时的系统状态X(t)便可以唯一地确定。
4． 状态空间 由x1轴，x2轴，××× ，xn轴所组成的n维空间称为状态空间。任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。
5． 状态方程 用状态变量描述系统的动态方程。

2-A1 状态空间模型的概念说明

已知系统

其状态方程可以用下列方程描述：

(2-25)

由上式可知，如果已知uc(t)和i(t)的初始值，以及在t3t0时的外加输入信号，就能够完全唯一地确定在t3t0时的任何时间的系统状态。状态方程也可以写成矩阵方程的形式。例如：

(2-26)

通常，用x表示状态矢量，用x1，x2，... 表示其分量。对于上式，如令

式（2-26）又可写为

(2-27)

此处其输出方程为

(2-28)

此处

需要指出的是，从理论上讲，描述系统状态的状态变量的选择不是唯一的，可以有无穷多个解。

2.7.2 线性定常控制系统的状态方程描述

本教材研究对象主要为线性定常系统，这里简单介绍一下线性定常系统的状态方程：

1． 单输入单输出线性定常系统状态方程

(2-29)

式中y为输出量，x为输入量，a1、a2、...、an和bn为常系数。

当令

此时，可将式（2-29）改写为n个一阶微分方程，即

或用矩阵方程表示：

上式可简写为

式中

系统的输出方程为

2． 多变量线性定常系统状态方程

推广到多变量线性定常系统的一般情况，此时的系统传递函数可表示为：

式中 i=1，2，...，n；j=1，2，...，m。可用矩阵方程表示为：

此处

2.7.3线性定常系统状态空间表达式的结构图和信号流图

系统的状态方程和输出方程也可以用结构图的方式表达出来，它形象地说明了系统输入、输出和系统状态之间的信息传递关系。在采用模拟计算机对系统仿真时，它更是一个得力的工具。图2- 16所示为n维线性定常系统的结构图。

同样，也可以画出n维线性定常系统的信号流图（见图2-17所示）。

图2-17 n维线性系统的信号流图

下面仔细分析一下单输入单输出系统的传递函数与状态空间之间的关系：
设所要研究系统的传递函数为：

该系统在状态空间中可以用下列方程表示：

(2-30)