雷达成像近似二维模型及其超分辨算法

式(4)与式(3)相比较，指数中增加了两项，其中前一项是“多普勒移动”项，纵坐标yk越大，影响也越大，这可以补充式(3)之不足；而后项是时频耦合的多普勒移动项，由于Mγ/Fsfc，它的影响可以忽略.因此，可将考虑MTRC情况下，回波二维模型的一阶近似式写成：

　(5)

　　需要指出，每个散射点的参数之间存在下述关系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和k/vk=fcFs/γδθ.由于雷达参数(fc,γ,Fs)和运动参数(δθ)均已知，所以待估计的五个参数中只有三个是独立的.本文假设五个参数是独立的，而在成像计算中已考虑参数之间的关系.
　　设{ξk}Kk=1≡{αk,ωk,k,μk,vk}Kk=1，现在我们要从y(m,n)中估计参量{ξk}Kk=1.

三、二维推广的RELAX算法
　　对于(5)式所示的信号模型，令：

Y=［y(m,n)］M×N

则　(6)
式中

　　设ξk估计值为，则ξk的估计问题可通过优化下述代价函数解决：

　(7)

式中‖.‖F表示矩阵的Frobenius范数，⊙表示矩阵的Hadamard积.
　　上式中C1的最优化是一个多维空间的寻优问题，十分复杂.本文将RELAX［3］算法推广以求解.为此，首先做以下准备工作，令：

　(8)

　　即假定{i}i=1,2,…,K,i≠k已经求出，则式(7)C1的极小化等效于下式的极小化：

C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN(k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F　(9)

令：　　Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)　(10)
　　由于Pk为酉矩阵，矩阵Dk的每个元素的模|Dk(m,n)|=1,显然矩阵Yk与Zk的F范数相同，故C2的极小化等效于下式的极小化：

C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN(k)‖2F　(11)

　　对上式关于αk求极小值就获得αk的估计值k：

k=aHM(ωk)Zkb*N(k)/(MN)　(12)